Circonférence du Cercle
Description
La circonférence est la distance linéaire autour du bord extérieur d'un cercle. C'est essentiellement le "périmètre" du cercle. La formule $C = 2\pi r$ (ou $C = \pi d$) relie cette longueur courbe directement à la largeur du cercle (diamètre) ou à son rayon.
Cette relation implique que pour tout cercle, quelle que soit sa taille, le rapport de sa circonférence à son diamètre est toujours le même nombre constant : $\pi$ (environ 3,14159).
Visuellement, si vous coupiez un cercle et le dérouliez à plat, la longueur de cette ligne droite serait la circonférence.
Histoire & Origines
La découverte du rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est l'une des premières réalisations mathématiques. Babyloniens (v. 1900 av. J.-C.) : Ont approximé $\pi$ à 3,125. Égyptiens de l'Antiquité (v. 1650 av. J.-C.) : Le papyrus Rhind donne une valeur équivalente à 3,16. Archimède (v. 250 av. J.-C.) : Il a été le premier à approximer rigoureusement $\pi$ en inscrivant et circonscrivant des polygones avec de nombreux côtés autour d'un cercle. Il a déterminé que la valeur se situe entre $3\frac{10}{71}$ et $3\frac{1}{7}$. Zu Chongzhi (v. 480 apr. J.-C.) : Un mathématicien chinois qui a calculé $\pi$ à sept décimales (3,1415926) en utilisant un polygone de 12 288 côtés, un record qui a tenu pendant 800 ans.
Limite d'un Polygone Régulier
Nous pouvons approximer un cercle comme un polygone régulier avec un nombre infini de côtés.
Considérez un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $r$.
Divisez le polygone en $n$ triangles isocèles avec un angle central $\theta = \frac{360^\circ}{n}$.
La base de chaque triangle (un côté du polygone) a une longueur $s = 2r \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
Le périmètre total du polygone est $P_n = n \times s = 2nr \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
À mesure que $n$ approche de l'infini (de plus en plus de côtés), le polygone devient un cercle.
En utilisant la limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (où $x$ est en radians), nous pouvons montrer que lorsque $n \to \infty$, $P_n \to 2\pi r$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
C | Circonférence (Périmètre) |
r | Rayon (Distance du centre au bord) |
π | Pi (env. 3,14159) |
d | Diamètre (2r) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver la circonférence avec r=7
Solution :
Odomètre de Vélo
Problème : Une roue de vélo a un diamètre de 70 cm. Quelle distance le vélo parcourt-il en un tour complet de la roue ?
Solution : ~2,2 mètres
- Identifier le Diamètre : $d = 70$ cm.
- Formule : $C = \pi d$ (puisque $2r = d$).
- Substituer : $C = \pi \times 70$.
- Calculer : $C \approx 3,14159 \times 70 \approx 219,91$ cm.
- Convertir en mètres : $2,199$ mètres.
Piste de Course
Problème : Une piste de course circulaire a un rayon de 50 mètres. Si un coureur fait 10 tours, quelle distance a-t-il courue ?
Solution : ~3,14 km
- Calculer la circonférence d'un tour : $C = 2\pi(50) = 100\pi$.
- Valeur pour un tour : $100 \times 3,14159 \approx 314,16$ mètres.
- Multiplier par 10 tours : $314,16 \times 10 = 3141,6$ mètres.
- Convertir en km : $3,14$ km.
Erreurs Courantes
Confondre Aire et Circonférence
Rappelez-vous : L'aire est l'espace À L'INTÉRIEUR ($A = \pi r^2$, unités carrées). La circonférence est la distance AUTOUR ($C = 2\pi r$, unités linéaires).
Confondre Rayon et Diamètre
Vérifiez si le problème vous donne le rayon ($r$) ou le diamètre ($d$). Rappelez-vous $d = 2r$. Si vous utilisez le diamètre dans la formule $2\pi r$ sans diviser par 2, votre réponse sera le double de ce qu'elle devrait être.
Applications réelles
Génie Mécanique (Engrenages)
La circonférence détermine le rapport d'engrenage et la distance parcourue. Si un engrenage avec une circonférence de 10 cm fait tourner un engrenage avec une circonférence de 20 cm, le deuxième engrenage tourne exactement deux fois moins vite.
Circonférence de la Terre
Ératosthène (v. 240 av. J.-C.) a célèbrement calculé la circonférence de la Terre en mesurant les angles d'ombre dans deux villes différentes. Il a utilisé une géométrie simple pour estimer qu'elle était d'environ 40 000 km, ce qui est incroyablement proche de la valeur moderne (40 075 km).
Questions Fréquemment Posées
Quelle est la différence entre pi et 3,14 ?
Pi ($\pi$) est un nombre irrationnel avec des décimales infinies. 3,14 est juste une approximation arrondie. Utiliser $\pi$ est toujours plus précis.
Le périmètre est-il la même chose que la circonférence ?
Oui. "Périmètre" est le terme général pour la distance autour de n'importe quelle forme. "Circonférence" est le nom spécifique pour le périmètre d'un cercle.