Aire du Trapèze
Description
L'aire d'un trapèze est déterminée par la longueur de ses deux côtés parallèles (appelés Grande Base $B$ et Petite Base $b$) et sa hauteur verticale. La formule $A = \frac{B+b}{2}h$ peut être interprétée comme le calcul de l'aire d'un rectangle ayant la même hauteur mais une largeur égale à la *moyenne* des deux bases.
Essentiellement, vous convertissez le trapèze irrégulier en un rectangle équivalent plus simple.
Cette forme est omniprésente en génie civil et en architecture. On la retrouve dans les coupes transversales de barrages, de canaux et de talus routiers, car les côtés inclinés offrent une stabilité structurelle.
Histoire & Origines
La nécessité de calculer l'aire des trapèzes remonte aux premiers jours de l'arpentage. Babylone Antique (v. 1900 av. J.-C.) : Les tablettes d'argile montrent que les arpenteurs babyloniens calculaient l'aire de champs trapézoïdaux. Ils comprenaient le principe de la moyenne des côtés parallèles. Égypte Antique : Le Papyrus Rhind contient des problèmes impliquant l'aire de parcelles de terre trapézoïdales le long du Nil. Liu Hui (3ème siècle apr. J.-C.) : Le mathématicien chinois calculait les aires de trapèzes en utilisant le principe de dissection, découpant et réarrangeant les parties de la forme.
Preuve Visuelle (Méthode de Duplication)
La façon la plus simple de prouver la formule est de transformer le trapèze en parallélogramme.
Prenez un trapèze avec des bases $B$ et $b$ et une hauteur $h$.
Faites une copie exacte du trapèze.
Retournez la copie (rotation de 180 degrés).
Attachez la copie sur le côté du trapèze original.
La forme combinée forme un grand parallélogramme.
La base de ce parallélogramme est la somme des deux bases : $(B + b)$. La hauteur reste $h$.
L'aire d'un parallélogramme est $\text{Base} \times \text{Hauteur} = (B+b)h$.
Puisque notre forme est constituée de deux trapèzes identiques, l'aire d'un seul est la moitié du total : $A = \frac{1}{2}(B+b)h$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
A | Aire |
B | Grande Base (côté le plus long) |
b | Petite Base (côté le plus court) |
h | Hauteur verticale |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver l'aire avec bases 6m et 10m, hauteur 4m.
Solution :
Génie Civil : Barrage
Problème : Un barrage en terre a une section transversale trapézoïdale. La largeur au sommet est de 20m, la base de 50m et la hauteur de 30m. Quelle est l'aire ?
Solution : 1050 m²
- Identifier les bases : $B = 50$, $b = 20$.
- Identifier la hauteur : $h = 30$.
- Moyenne des bases : $\frac{50+20}{2} = 35$.
- Multiplier par la hauteur : $35 \times 30 = 1050$.
- Aire = 1050 m².
Menuiserie : Table
Problème : Une table d'école est un trapèze. Le bord avant fait 1,5m, le bord arrière 0,9m et la profondeur 0,6m. Quelle est l'aire ?
Solution : 0,72 m²
- Fermule : $A = \frac{B+b}{2}h$.
- Substituer : $B=1,5; b=0,9; h=0,6$.
- Moyenne : $(1,5+0,9)/2 = 1,2$.
- Calculer : $1,2 \times 0,6 = 0,72$.
Erreurs Courantes
Utiliser le côté incliné comme hauteur
La hauteur ($h$) doit toujours être la distance perpendiculaire entre les bases. N'utilisez jamais la longueur des côtés inclinés.
Oublier de diviser par 2
Une erreur fréquente est de calculer $(B+b)h$. N'oubliez pas que vous faites la moyenne des bases, donc divisez par 2.
Applications réelles
La Méthode des Trapèzes
En calcul intégral, pour trouver l'aire sous une courbe, une méthode standard consiste à découper l'aire en nombreux trapèzes verticaux fins. Cela donne souvent une estimation plus précise que l'utilisation de rectangles car le sommet incliné s'adapte mieux à la courbe.
Aérodynamique
Les ailes d'avion sont souvent trapézoïdales. Les ingénieurs utilisent cette formule pour calculer la surface alaire, essentielle pour déterminer la portance et la traînée.
Questions Fréquemment Posées
Un carré est-il un trapèze ?
Techniquement, oui. Un trapèze a *au moins* une paire de côtés parallèles. Un carré en a deux, donc il compte.