Sucesión Geométrica
Descripción
Una sucesión geométrica (o progresión) es una lista de números donde cada término se encuentra multiplicando el término anterior por un valor constante llamado **razón común ($r$)**.
La fórmula $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ te permite calcular cualquier término en la secuencia sin encontrar todos los anteriores. * $a_1$ es el primer término. * $r$ es el multiplicador (razón). * $n-1$ es el número de multiplicaciones aplicadas al inicio.
Historia & Orígenes
Las progresiones geométricas aparecen en algunas de las historias matemáticas más antiguas. El Problema del Tablero de Ajedrez: Una leyenda famosa de la India involucra a un sabio que pidió 1 grano de trigo en el primer cuadrado, 2 en el segundo, 4 en el tercero, etc. Esta es una secuencia geométrica con $r=2$. Euclides (c. 300 a.C.): Discutió las progresiones geométricas en Elementos, Libro IX.
Derivación por Iteración
Podemos encontrar el patrón escribiendo los términos paso a paso.
Término 1: $a_1$
Término 2: $a_2 = a_1 \cdot r$
Término 3: $a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r^2$
Término 4: $a_4 = a_1 \cdot r^3$
Patrón: El exponente de $r$ es siempre uno menos que el número del término ($n$).
Fórmula general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
Variables
| Símbolo | Significado |
|---|---|
aₙ | El enésimo término |
a₁ | Primer término |
n | Posición del término |
r | Razón común (Multiplicador) |
Ejemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar el 5to término de la secuencia 2, 6, 18, 54...
Solución :
Crecimiento de Bacterias
Problema : Un cultivo comienza con 100 células y se duplica cada hora. ¿Cuántas bacterias hay al inicio de la sexta hora?
Solución : 3.200
- Secuencia: 100, 200, 400...
- Primer término $a_1 = 100$. Razón $r = 2$.
- Buscamos el 6to término ($n=6$).
- Fórmula: $a_6 = 100 \cdot 2^{6-1} = 100 \cdot 32 = 3.200$.
Depreciación de Auto
Problema : Un auto cuesta $20.000. Retiene el 85% de su valor cada año ($r=0,85$). ¿Valor en el año 5?
Solución : $10.440
- Inicio ($a_1$): $20.000$. Razón $r = 0,85$.
- Fórmula: $a_5 = 20.000 \cdot (0,85)^4$.
- Calcular: $20.000 \cdot 0,522 = 10.440$.
Errores Comunes
Usar n en lugar de n-1
Un error común es calcular $a_1 \cdot r^n$. Esto efectivamente salta el primer término.
Aplicaciones del Mundo Real
Finanzas: Interés Compuesto
El interés compuesto es una secuencia geométrica. Si inviertes dinero al 5% de interés, tu dinero se multiplica por 1,05 cada año.
Música: Octavas
Las notas musicales siguen una progresión geométrica. La frecuencia de una nota "La" es 440 Hz. La siguiente (una octava arriba) es 880 Hz ($r=2$).
Preguntas Frecuentes
¿Puede r ser negativo?
Sí. Esto crea una secuencia alternada donde los signos cambian (ej. 2, -4, 8...).