Sucesión Aritmética
Descripción
Una sucesión aritmética es una lista de números donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. Esta constante se llama **diferencia común ($d$)**.
La fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$ te permite saltar directamente a cualquier término en la secuencia sin enumerar todos los anteriores. * $a_1$ es el punto de partida. * $d$ es el tamaño del paso. * $n-1$ es el número de pasos que das desde el inicio.
Historia & Orígenes
Las progresiones aritméticas han sido estudiadas durante miles de años. Antiguo Egipto (c. 1550 a.C.): El Papiro Matemático Rhind contiene un famoso problema sobre dividir panes en progresión aritmética, mostrando un conocimiento sofisticado. Babilonios: Usaban sucesiones aritméticas para calcular el movimiento de los planetas y la duración de la luz del día.
Derivación por Iteración
Podemos ver el patrón escribiendo los primeros términos.
Término 1: $a_1$
Término 2: $a_2 = a_1 + d$
Término 3: $a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$
Término 4: $a_4 = a_1 + 3d$
Patrón: El coeficiente de $d$ es siempre uno menos que el número del término ($n$).
Generalizando: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Variables
| Símbolo | Significado |
|---|---|
aₙ | El enésimo término |
a₁ | Primer término |
n | Posición del término |
d | Diferencia común |
Ejemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar el término 50 de la secuencia 3, 7, 11, 15...
Solución :
Tarifa de Taxi
Problema : Un taxi cobra una tarifa base de $5 más $2 por milla. ¿Cuál es el costo de un viaje de 10 millas?
Solución : $25
- Supongamos milla 1 ($n=1$) cuesta $5+2=7$.
- Primer término $a_1 = 7$. Diferencia $d = 2$.
- Para 10 millas ($n=10$): $a_{10} = 7 + (10-1)2 = 7 + 18 = 25$.
Depreciación
Problema : Una máquina cuesta $20.000 y se deprecia $1.500 cada año. ¿Valor después de 8 años?
Solución : $8.000
- Año 1 ($a_1$): $20.000 - 1.500 = 18.500$.
- Diferencia $d = -1.500$.
- Año 8 ($a_8$): $18.500 + (8-1)(-1.500) = 18.500 - 10.500 = 8.000$.
Errores Comunes
Usar n en lugar de n-1
El error más común es escribir $a_n = a_1 + nd$. Recuerda que tomas cero pasos para el primer término.
Aplicaciones del Mundo Real
Finanzas: Interés Simple
El interés simple crece aritméticamente. Si inviertes dinero a una tasa fija (sin capitalización), tu saldo aumenta en la misma cantidad cada año.
Informática
Las direcciones de memoria para arreglos se calculan usando una sucesión aritmética.
Preguntas Frecuentes
¿Puede d ser negativo?
¡Sí! Si la secuencia es decreciente (ej. 10, 8, 6...), $d$ es negativo.