Regla de la Potencia (Integral)
Descripción
La Regla de la Potencia para la Integración es la operación inversa de la Regla de la Potencia para la Derivación. Te permite encontrar la antiderivada de una función como $x^2$, $x^5$ o $\sqrt{x}$ con un proceso simple de dos pasos: 1. Sumar uno al exponente. 2. Dividir por el nuevo exponente.
También debes añadir una **Constante de Integración ($+C$)** porque la derivada de cualquier constante es cero, lo que significa que no podemos saber el valor constante original solo a partir de la derivada.
**Restricción Importante:** Esta regla funciona para todos los números reales $n$ *excepto* $n = -1$. Si $n = -1$ (es decir, $\frac{1}{x}$), la regla causaría una división por cero. La integral de $x^{-1}$ es un caso especial: $\ln|x| + C$.
Historia & Orígenes
El descubrimiento de las fórmulas de integración es anterior a la diferenciación. Bonaventura Cavalieri (1635): Matemático italiano que utilizó su "método de los indivisibles" para calcular el área bajo curvas $y=x^n$. Derivó con éxito la regla para potencias enteras hasta $n=9$. John Wallis (1655): Extendió el trabajo de Cavalieri, proponiendo que la regla se aplicaba también a exponentes fraccionarios y negativos.
Prueba por Diferenciación
El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la integración y la diferenciación son operaciones inversas. Podemos probar la fórmula de la integral derivando el resultado.
Afirmamos que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Para probarlo, derivemos el lado derecho: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right)$.
La derivada de la constante $C$ es 0.
Aplicamos la Regla de la Potencia para Derivadas a $x^{n+1}$: Bajamos $(n+1)$ y restamos 1 al exponente.
$\frac{d}{dx} (x^{n+1}) = (n+1)x^{(n+1)-1} = (n+1)x^n$.
Multiplicamos por el factor constante: $\frac{1}{n+1} \cdot (n+1)x^n$.
Los términos $(n+1)$ se cancelan, dejando solo $x^n$.
Como la derivada del resultado es igual al integrando ($x^n$), la fórmula es correcta.
Variables
| Símbolo | Significado |
|---|---|
n | Potencia/exponente (Cualquier real excepto -1) |
x | Variable |
C | Constante de Integración |
∫ | Símbolo de integral |
Ejemplo
Cálculo Básico
Problema : Integrar x³
Solución :
Exponentes Fraccionarios (Raíces)
Problema : Encontrar $\int \sqrt{x} \, dx$.
Solución : $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
- Reescribir radical como exponente: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
- Identificar $n = 1/2$.
- Sumar 1 al exponente: $1/2 + 1 = 3/2$.
- Dividir por el nuevo exponente: $\frac{x^{3/2}}{3/2}$.
- Simplificar: Dividir por $3/2$ es multiplicar por $2/3$.
- Resultado: $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
Integral Definida (Área)
Problema : Calcular $\int_0^2 x^2 \, dx$.
Solución : 8/3
- Encontrar antiderivada: $\frac{x^3}{3}$.
- Aplicar Teorema Fundamental: $F(2) - F(0)$.
- Evaluar en 2: $\frac{2^3}{3} = \frac{8}{3}$.
- Evaluar en 0: $\frac{0^3}{3} = 0$.
- Restar: $\frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.
Errores Comunes
Olvidar +C
En integrales indefinidas, debes añadir $+C$. Si no lo haces, representas solo una curva específica en lugar de toda la familia de soluciones.
Usarla para n = -1
No puedes calcular $\int x^{-1} dx$ con esta regla porque dividirías por cero. La integral correcta para $\frac{1}{x}$ es $\ln|x| + C$.
Aplicaciones del Mundo Real
Física: De Velocidad a Posición
En física, la velocidad es la derivada de la posición. Para ir hacia atrás (encontrar la posición dada la velocidad), integras. Si $v(t) = 3t^2$, entonces la posición $x(t) = t^3 + C$. La constante $C$ representa la posición inicial.
Preguntas Frecuentes
¿Qué es C?
C es la "Constante de Integración". Da cuenta de cualquier valor constante que pudiera haber estado en la función original, ya que derivar una constante da cero.