Regla de la Cadena
Descripción
La Regla de la Cadena es la herramienta fundamental para diferenciar funciones compuestas, es decir, funciones dentro de otras funciones, como $\sin(x^2)$ o $(2x+1)^5$. Establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función externa multiplicada por la derivada de la función interna.
Una regla mnemotécnica común es **"derivada de lo de afuera por derivada de lo de adentro"**.
**Analogía Intuitiva (Engranajes):** Imagina tres engranajes conectados en una cadena. Si el Engranaje A gira al Engranaje B dos veces más rápido ($dy/du=2$), y el Engranaje B gira al Engranaje C tres veces más rápido ($du/dx=3$), entonces el Engranaje A gira al Engranaje C $2 \times 3 = 6$ veces más rápido. Simplemente multiplicas las tasas.
En notación de Leibniz, si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, entonces: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
Esta notación es increíblemente intuitiva porque parece que las fracciones "cancelan" los términos $du$, aunque técnicamente las derivadas no son fracciones. La Regla de la Cadena nos permite pelar las capas de funciones complejas como una cebolla, resolviendo una capa a la vez.
Historia & Orígenes
La Regla de la Cadena es una de las reglas más antiguas del cálculo, estrechamente ligada a su invención. Gottfried Wilhelm Leibniz (1676): Leibniz descubrió la regla específicamente para manejar funciones algebraicas de la forma $\sqrt{a + bz + cz^2}$. Cometió un error de cálculo en su primer intento pero lo corrigió, dándose cuenta de la relación entre variables. Guillaume de l'Hôpital (1696): Incluyó la regla en su libro de texto Analyse des Infiniment Petits, el primer libro de texto sobre cálculo diferencial.
Prueba usando Límites
Usamos la definición de límite de la derivada para la función compuesta $f(g(x))$.
Sea $y = f(g(x))$. Queremos encontrar $\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}$.
Multiplica y divide por $[g(x+h) - g(x)]$: $\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$.
Sea $k = g(x+h) - g(x)$. Cuando $h \to 0$, $k \to 0$.
El primer término es la derivada de la función externa $f'(g(x))$.
El segundo término es la derivada de la función interna $g'(x)$.
Resultado: $f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Variables
| Símbolo | Significado |
|---|---|
f(u) | Función externa |
g(x) | Función interna (u) |
f' | Derivada de función externa |
g' | Derivada de función interna |
Ejemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar la derivada de y = (3x² + 1)⁵
Solución :
Potencia de un Polinomio
Problema : Derivar $h(x) = (3x^2 + 1)^5$.
Solución : $30x(3x^2 + 1)^4$
- Identificar Interna y Externa: Interna $u = 3x^2 + 1$. Externa $y = u^5$.
- Derivar Externa: $\frac{dy}{du} = 5u^4 = 5(3x^2 + 1)^4$.
- Derivar Interna: $\frac{du}{dx} = 6x$.
- Multiplicar: $5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x$.
- Simplificar: $30x(3x^2 + 1)^4$.
Función Trigonométrica
Problema : Derivar $y = \cos(e^x)$.
Solución : $-e^x \sin(e^x)$
- Identificar funciones: Externa es $\cos(u)$, Interna es $u = e^x$.
- Derivada de Externa: $\frac{d}{du}(\cos(u)) = -\sin(u)$.
- Derivada de Interna: $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$.
- Aplicar Regla de la Cadena: $-\sin(e^x) \cdot e^x$.
- Resultado: $-e^x \sin(e^x)$.
Errores Comunes
Olvidar la derivada interna
El error más común es derivar lo de afuera pero olvidar multiplicar por $g'(x)$. Para $(2x)^3$, obtener $3(2x)^2$ es incorrecto. Debe ser $3(2x)^2 \cdot 2 = 6(2x)^2$.
Cambiar la función interna
Cuando tomas la derivada de lo de afuera $f'(g(x))$, debes mantener lo de adentro $g(x)$ exactamente como está. No lo cambies a $g'(x)$ dentro del paréntesis.
Aplicaciones del Mundo Real
Inteligencia Artificial: Backpropagation
Esta es posiblemente la aplicación más importante en el mundo moderno. Las redes neuronales "aprenden" ajustando pesos para minimizar errores. El algoritmo **Backpropagation** calcula el gradiente de la función de pérdida con respecto a cada peso en la red. Esto es esencialmente aplicar la Regla de la Cadena repetidamente hacia atrás desde la salida hasta la entrada.
Física: Efecto Doppler
Al calcular tasas de cambio donde las dependencias están anidadas (por ejemplo, cómo cambia la frecuencia percibida del sonido a medida que un automóvil se mueve, donde la posición depende del tiempo), la Regla de la Cadena permite a los físicos vincular estas tasas.
Preguntas Frecuentes
¿Puedo usarla para 3 funciones?
¡Sí! Para $f(g(h(x)))$, la pelas como una cebolla: $f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$. Simplemente sigue multiplicando por la derivada de la siguiente capa interna.