Identidad Pitagórica
Descripción
La Identidad Pitagórica es la ecuación más importante en trigonometría. Cierra la brecha entre la geometría (el Teorema de Pitágoras) y la trigonometría (seno y coseno).
Establece que para *cualquier* ángulo $\theta$, el cuadrado del seno de ese ángulo más el cuadrado del coseno de ese ángulo siempre es igual exactamente a 1.
Esta identidad se deriva directamente del Círculo Unitario, donde cualquier punto $(x, y)$ en el círculo satisface la ecuación $x^2 + y^2 = 1$. Dado que $x = \cos(\theta)$ y $y = \sin(\theta)$, se deduce directamente que $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$.
Historia & Orígenes
Aunque el teorema para triángulos lleva el nombre de Pitágoras (c. 570 a.C.), la forma trigonométrica se desarrolló mucho más tarde a medida que la trigonometría evolucionó de funciones de cuerda a seno/coseno. Claudio Ptolomeo (c. 100 d.C.): En su Almagesto, usó tablas de cuerdas que implícitamente dependían de esta relación. Matemáticos Indios (c. 500 d.C.): Aryabhata y matemáticos posteriores usaron explícitamente la relación $\sin^2 + \cos^2 = 1$ para cálculos astronómicos.
Prueba usando el Círculo Unitario
Derivamos la identidad directamente de la definición del círculo unitario.
Considera un Círculo Unitario centrado en el origen $(0,0)$ con radio $r=1$.
La ecuación de este círculo es $x^2 + y^2 = 1$.
Dibuja un ángulo $\theta$. El lado terminal intersecta el círculo en el punto $P(x,y)$.
Por definición de seno y coseno: $x = \cos(\theta)$ y $y = \sin(\theta)$.
Sustituye estos en la ecuación del círculo: $(\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1$.
Esto se simplifica a: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
Variables
| Símbolo | Significado |
|---|---|
θ | Ángulo (cualquier número real) |
sin²θ | Cuadrado del seno del ángulo |
cos²θ | Cuadrado del coseno del ángulo |
Ejemplo
Cálculo Básico
Problema : Verificar para θ = 30°
Solución :
Encontrar Valor Faltante
Problema : Si $\sin(\theta) = \frac{3}{5}$ y $\theta$ está en el primer cuadrante, encontrar $\cos(\theta)$.
Solución : 4/5
- Identidad: $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.
- Sustituir: $(\frac{3}{5})^2 + \cos^2(\theta) = 1$.
- Cuadrado: $\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1$.
- Restar: $\cos^2(\theta) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
- Raíz Cuadrada: $\cos(\theta) = \pm \frac{4}{5}$.
- Como está en el Cuadrante I, el coseno es positivo: $\frac{4}{5}$.
Simplificar Expresiones
Problema : Simplificar $5 - 5\sin^2(x)$.
Solución : $5\cos^2(x)$
- Factorizar 5: $5(1 - \sin^2(x))$.
- Reordenar identidad: Como $\sin^2 + \cos^2 = 1$, entonces $1 - \sin^2 = \cos^2$.
- Sustituir: $5(\cos^2(x))$.
Errores Comunes
Pensar que sin(x) + cos(x) = 1
Esto es incorrecto. La identidad se aplica a los **cuadrados**. Para $45^\circ$, la suma lineal es $\sqrt{2} \approx 1,414$, no 1.
Aplicaciones del Mundo Real
Ingeniería Eléctrica
En circuitos de CA, la relación entre Potencia Activa (P), Reactiva (Q) y Aparente (S) forma un "Triángulo de Potencia" gobernado por esta identidad ($S^2 = P^2 + Q^2$).
Física: Energía
En un sistema oscilante (péndulo), la energía cinética y potencial se transforman constantemente entre sí, pero la energía total permanece constante, reflejando $\sin^2 + \cos^2 = 1$.
Preguntas Frecuentes
¿Por qué escribimos sin²θ?
Es una convención para evitar ambigüedad. $\sin \theta^2$ parecería que estamos elevando al cuadrado el ángulo.