Fórmula de la Distancia
Descripción
La Fórmula de la Distancia es una aplicación directa del Teorema de Pitágoras utilizado para encontrar la distancia en línea recta entre dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesiano. Nos permite medir "qué tan lejos" están dos ubicaciones entre sí, incluso si el camino es diagonal.
La fórmula se deriva creando un triángulo rectángulo donde: * El **cateto horizontal** es el cambio en x ($x_2 - x_1$). * El **cateto vertical** es el cambio en y ($y_2 - y_1$). * La **hipotenusa** es la distancia $d$ entre los puntos.
Este concepto es fundamental no solo en la clase de matemáticas, sino en informática (detección de colisiones en juegos), navegación (GPS) y física. Si bien esta fórmula específica mide la "distancia euclidiana" (línea recta), existen otras métricas como la "distancia de Manhattan" (caminos tipo cuadrícula) para diferentes contextos.
Historia & Orígenes
La capacidad de calcular distancias diagonales está ligada a la historia del Teorema de Pitágoras. Pitágoras (c. 570 a.C.): El principio subyacente ($a^2 + b^2 = c^2$) era conocido por babilonios e indios mucho antes, pero los griegos lo formalizaron como una verdad geométrica. René Descartes (1637): La forma algebraica específica que usamos hoy, utilizando coordenadas $(x,y)$, fue posible gracias a la invención de la geometría analítica por Descartes. Al fusionar el álgebra con la geometría, permitió calcular distancias puramente a partir de coordenadas numéricas en lugar de mediciones físicas.
Derivación usando el Teorema de Pitágoras
Podemos construir un triángulo rectángulo entre dos puntos cualesquiera para encontrar la hipotenusa.
Sean los dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$.
Dibuja una línea horizontal desde $P_1$ y una línea vertical desde $P_2$. Se encuentran en un punto $C(x_2, y_1)$.
La distancia del lado horizontal (cateto a) es $|x_2 - x_1|$.
La distancia del lado vertical (cateto b) es $|y_2 - y_1|$.
Por el Teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$), la distancia al cuadrado es $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Toma la raíz cuadrada de ambos lados para obtener $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Variables
| Símbolo | Significado |
|---|---|
d | Distancia |
(x₁, y₁) | Coordenadas del primer punto |
(x₂, y₂) | Coordenadas del segundo punto |
Ejemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar la distancia entre (1, 2) y (4, 6)
Solución :
Determinando el Radio
Problema : Un círculo tiene su centro en (0, 0) y pasa por el punto (3, 4). ¿Cuál es el radio?
Solución : 5
- Identifica puntos: Centro $(x_1, y_1) = (0, 0)$, Borde $(x_2, y_2) = (3, 4)$.
- Sustituye en la fórmula: $r = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2}$.
- Simplifica: $r = \sqrt{3^2 + 4^2}$.
- Calcula: $r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$.
- Resultado: Radio = 5.
Colisión en Videojuegos
Problema : Un jugador está en (10, 10) con un radio de colisión de 2. Un enemigo está en (12, 10). ¿Están colisionando?
Solución : Sí
- Calcula la distancia: $d = \sqrt{(12-10)^2 + (10-10)^2}$.
- Simplifica: $d = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
- Compara con el radio: La distancia (2) es exactamente igual al radio de colisión.
- Conclusión: Se están tocando (colisionando).
Errores Comunes
Restar en orden incorrecto
Aunque $(x_2-x_1)^2$ es lo mismo que $(x_1-x_2)^2$, es una buena práctica ser consistente. Sin embargo, ten cuidado de no mezclar x e y: $(x_2 - y_1)$ es incorrecto.
Olvidar elevar al cuadrado
Un error común es escribir $\sqrt{(x_2-x_1) + (y_2-y_1)}$. DEBES elevar al cuadrado las diferencias antes de sumarlas.
Restar los Cuadrados
La fórmula es $a^2 + b^2$. No los restes ($a^2 - b^2$) dentro de la raíz.
Aplicaciones del Mundo Real
Aprendizaje Automático (KNN)
En IA, el algoritmo "K-Nearest Neighbors" clasifica puntos de datos basándose en a qué grupos conocidos están más cerca. Calcula la "Distancia" entre puntos de datos en un espacio multidimensional para decidir si una imagen es un gato o un perro.
Desarrollo de Juegos
Los juegos calculan la distancia miles de veces por segundo para verificar si una bala golpeó un objetivo, si un jugador está lo suficientemente cerca para abrir una puerta o para renderizar objetos 3D en el tamaño correcto según qué tan lejos estén.
Preguntas Frecuentes
¿Importa el orden de los puntos?
No. Debido a que elevas al cuadrado la diferencia, $(5-2)^2 = 3^2 = 9$ y $(2-5)^2 = (-3)^2 = 9$. El resultado es el mismo.
¿Qué es la Distancia de Manhattan?
La distancia euclidiana es "en línea recta" (diagonal). La distancia de Manhattan es como conducir en manzanas de la ciudad: $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$. Se usa en la búsqueda de caminos basada en cuadrículas.